Question

（本題滿分15分）如圖，分別過橢圓E：左右焦點、的動直線l₁、l₂相交于P點，與橢圓E分別交于A、B與C、D不同四點，直線OA、OB、OC、OD的斜率、、、滿足．已知當l₁與x軸重合時，，．

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）是否存在定點M、N，使得為定值．若存在，求出M、N點坐標，若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）．

（Ⅱ）存在點M、N其坐標分別為(0 , -1)、(0, 1)，使得為定值．

【解析】本試題主要是考查了橢圓方程的求解，以及直線與橢圓的位置關系的綜合運用。

（1）利用已知中的線段的長度得到a,b,c的關系式，進而求解得到橢圓的方程。

（2）設出直線與橢圓聯立，利用韋達定理來表示坐標關系，同時利用斜率的知識求解得到參數的關系式，進而證明定值。

解（Ⅰ）當l₁與x軸重合時，，即，（2分）

∴ l₂垂直于x軸，得，，（4分）

得，，　　∴ 橢圓E的方程為．（6分）

（Ⅱ）焦點、坐標分別為(-1, 0)、(1, 0)．

當直線l₁或l₂斜率不存在時，P點坐標為(-1, 0)或(1, 0)．

當直線l₁、l₂斜率存在時，設斜率分別為，，設，，

由得　，

∴ ，．（8分）

，（10分）

同理．

∵， ∴，即．

由題意知，　∴．（12分）

設，則，即，（14分）

由當直線l₁或l₂斜率不存在時，P點坐標為(-1, 0)或(1, 0)也滿足，

∴點橢圓上，

∴ 存在點M、N其坐標分別為(0 , -1)、(0, 1)，使得為定值．（15分）