Question

(本題滿分12分) 已知函數=，在x=1處取得極值為2.（1）求函數的解析式；（2）若函數在區間（m，2m＋1）上為增函數，求實數m的取值范圍；（3）若P（x₀，y₀）為=圖象上的任意一點，直線l與=的圖象相切于點P，求直線l的斜率的取值范圍.

Answer 1

（1）     （2）m∈(-1,0)     

解析:

（1）已知函數=，∴ =,

又函數f(x)在x=1處取得極值2，∴即∴=.

（2）∵==.由>0，得4-4x²>0，即-1<x<1,

所以= 的單調增區間為（-1，1）.因函數在（m，2m＋1）上單調遞增，則有解得-1<m≤0，即m∈(-1,0)時，函數在（m，2m＋1）上為增函數.

（3）=,∴=,

直線l的斜率為k===4［］.

令=t，t∈(0,1),則直線l的斜率k=4(2t²-t),t∈(0,1)∴k∈［-,4］，即直線l的斜率k的取值范圍是［-,4］［或者由k=轉化為關于x₀²的方程，根據該方程有非負根求解］