Question

（本小題滿分12分）
圖1是某種稱為“凹槽”的機械部件的示意圖，圖2是凹槽的橫截面（陰影部分）示意圖，其中四邊形ABCD是矩形，弧CmD是半圓，凹槽的橫截面的周長為4.已知凹槽的強度與橫截面的面積成正比，比例系數為,設AB=2x,BC=y.

（1）寫出y關于x函數表達式，并指出x的取值范圍；
（2）求當x取何值時，凹槽的強度最大.

Answer 1

（1）（）.（2）。

試題分析：（1）易知半圓CmD的半徑為x，故半圓CmD的弧長為.
所以 ，得     ------------4分
依題意知：      得
所以，（）.         -----------6分
（2）依題意，設凹槽的強度為T，橫截面的面積為S，則有
                    ----------------------8分

.     ----------10分
因為,  所以，當時，凹槽的強度最大.
答: 當時，凹槽的強度最大.                 --------------12分
點評：本題主要考查數學建模型和解模型的能力，主要涉及了平面圖形的周長，面積及在實際問題中模型的意義．是應用題中的常見題型。