Question

（本小題滿分12分）
已知向量，，，且、、分別為 的三邊、、所對的角。
（1）求角C的大小；
（2）若，，成等差數列，且，求邊的長。

Answer 1

（1）（2）

此題考查了平面向量的數量積運算法則，兩角和與差的正弦函數公式，誘導公式，等差數列的性質，余弦定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵
（1）由兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運算法則列出關系式，利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，得到其數量積為sin（A+B），又根據三角形的內角和定理及誘導公式化簡，得到結果為sinC，而已知數量積為-sin2C，兩者相等，并利用二倍角的正弦函數公式化簡，根據sinC不為0，兩邊同時除以sinC，求出cosC的值，由C為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出C的度數；
（2）由三角形的三邊a，c及b成等差數列，利用等差數列的性質得到2c=a+b，再利用平面向量的數量積運算法則及誘導公式化簡將cosC的值代入求出ab的值，接著利用余弦定理得到c²=a²+b²-2abcosC，根據完全平方公式變形后，將cosC，a+b，及ab代入得到關于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．
解：（1）      …………2分
對于，
                                                        …………3分
又，
                        …………6分
（2）由，
由正弦定理得                                   …………8分
，
即                                  …………10分
由余弦弦定理，     …………11分
，              …………12分