Question

選修4-5：不等式選講
已知函數f（t）=|t+1|-|t-3|
（I）求f（t）＞2的解集；
（II）若a＞0，g（x）=ax²-2x+5，若對任意實數x、t，均有g（x）≥f（t）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）把原不等式等價轉化為 ①

t＜-1 (-t-1)-(3-t)＞2

，或②

-1≤t＜3 (t+1)-(3-t)＞2

，或③

t≥3 (t+1)-(t-3)＞2

，分別求出①、②、③的解集，再取并集，即得所求．
（II）由題意可得g_min（x）≥f_max（t）．利用二次函數的性質求得g_min（x）=

5a-1

a

，由絕對值的意義可得f（t）的最大值等于4，由

5a-1

a

≥4求出a的取值范圍．

解答：解：（I）由函數f（t）=|t+1|-|t-3|＞2可得
①

t＜-1 (-t-1)-(3-t)＞2

，或②

-1≤t＜3 (t+1)-(3-t)＞2

，或③

t≥3 (t+1)-(t-3)＞2

．
解①得t∈∅，解②得 2＜t＜3，解③得 t≥3．
綜上可得，不等式的解集為{t|t＞2}．
（II）∵a＞0，g（x）=ax²-2x+5，若對任意實數x、t，均有g（x）≥f（t）恒成立，
故有g_min（x）≥f_max（t）．
由題意可得，當x=

1

a

時，g（x）取得最小值為g_min（x）=

5a-1

a

．
而由絕對值的意義可得f（t）的最大值等于4，
∴

5a-1

a

≥4，解得 a≥1，
故a的取值范圍為[1，+∞）．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，函數的恒成立問題，體現了等價轉化和分類討論的數學思想，屬于中檔題．