Question

（2013•煙臺二模）已知函數f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*）存在極值，則k的取值集合是（　　）

A．{2，4，6，8，…}

B．{0，2，4，6，8，…}

C．{l，3，5，7，…}

D．N^*

Answer 1

分析：對k分奇偶討論，對原函數求導，進而探求在導數為0的左右附近，導數符號的改變，從而確定是否存在極值點．

解答：解：∵k∈N^*，
①當k的取值集合是{2，4，6，8，…}時，函數f（x）=x²-2lnx，
∴f'（x）=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

，由f'（x）=0得x=-1，或x=1．
當x∈（-∞，-1）或x∈（1，+∞）時，y′＞0；
當x∈（-1，1）時，y′＜0
∴當x=-1和x=1是函數的極值點．
②當k的取值集合是{l，3，5，7，…}時，函數f（x）=x²+2lnx，
∴f'（x）=2x+

2

x

=

2(x2+1)

x

，由f'（x）=0得x∈∅．故此時原函數不存在極值點．
故選A．

點評：本題以函數為載體，考查導數的運用，考查函數的極值，關鍵是求導函數，并注意在導數為0的左右附近，導數符號的改變．