Question

已知曲線C：，直線l：y=x，在曲線C上有一個動點P，過點P分別作直線l和y軸的垂線，垂足分別為A，B．再過點P作曲線C的切線，分別與直線l和y軸相交于點M，N，O是坐標原點．若△ABP的面積為，則△OMN的面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意易得B的坐標，寫出垂線的方程聯立y=x可得A坐標，進而可得△ABP的面積，可求a，然后可寫出切線的方程，進而可得M、N的坐標，可表示出△OMN的面積，代入a值可得答案．
解答：解：由題意設點P（x，），則B（0，），
又與直線l垂直的直線向斜率為-1，故方程為y-（）=-（x-x）
和方程y=x聯立可得x=y=，故點A（，），
故△ABP的面積S=
===，解得a=2，
又因為，所以，故切線率為，
故切線的方程為y-（）=（）（x-x），
令x=0，可得y=，故點N（0，），
聯立方程y=x可解得x=y=2x，即點M（2x，2x），
故△OMN的面積為=2a=4，
故答案為：4
點評：本題考查利用導數研究曲線的切線方程，涉及三角形的面積和方程組的求解，屬中檔題．