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已知函f（x）=x3+ax2+bx+5，若x=
2
3
，y=f（x）有極值，且曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為3．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值．
（3）函數y=f（x）-m有三個零點，求實數m的取值范圍．
（1）f′（x）=3x2+2ax+b，…（1分）
由題意，得
f′(
2
3
)=3×(
2
3
)2+2a×
2
3
+b=0
f′(1)=3×12+2a×1+b=3
，解得
a=2
b=-4
；
所以，f（x）=x3+2x2-4x+5，…（4分）
（2）由（1）知f（x）=3x3+4x-4=（x+2）（3x-2），
令f′（x）=0，得x1=-2，x2=
2
3
；…（5分）
x-4（-4，-2）-2（-2，
2
3
）
2
3
（
2
3
，1）		1
f′（x）+0-0+
f（x）↗極大值↘極小值↗
函數值-1113
95
27
4
…（8分）
∴f（x）在[-4，-1]上的最大值為13，最小值為-11．…（9分）
（3）∵函數y=f（x）-m有三個零點，即f（x）=m，有三個交點，
可得f（x）的圖象：如下圖：

由上圖y=m與函數f（x）有三個交點，
∴4＜m＜13，-11＜m＜
95
27
，此時y=m與f（x）交于三點；
∴4＜m＜13 或-11＜m＜
95
27
；
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數f（x）=lnx-
a
x
；
（Ⅰ）若a＞0，試判斷f（x）在定義域內的單調性；
（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值為
3
2
，求a的值；
（Ⅲ）若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數f（x）=ax-lnx，g(x)=
lnx
x
，它們的定義域都是（0，e]，其中e≈2.718，a∈R
（ I）當a=1時，求函數f（x）的單調區間；
（ II）當a=1時，對任意x1，x2∈（0，e]，求證：f(x1)＞g(x2)+
17
27

（ III）令h（x）=f（x）-g（x）•x，問是否存在實數a使得h（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設函數f（x）=九x2+lnx．
（Ⅰ）當九=-1時，求函數y=f（x）的7象在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）已知九＜0，若函數y=f（x）的7象總在直線y=-
1
2
的下方，求九的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

函數f（x）=asinx+bcosx+c（a，b，c為常數）的圖象過原點，且對任意x∈R總有f(x)≤f(
π
3
)成立；
（1）若f（x）的最大值等于1，求f（x）的解析式；
（2）試比較f(
b
a
)與f(
c
a
)的大小關系．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設函數f（x）=alnx-bx2（x＞0），若函數f（x）在x=1處與直線y=-
1
2
相切．
（1）求實數a，b的值；
（2）求函數f（x）在[
1
e
，e]上的最大值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數f（x）=
1
3
x3-
1
2
ax2+
9
2
(a＞0)
（1）當a=3時，求f（x）的單調遞增區間；
（II）求證：曲線y=f（x）總有斜率為a的切線；
（III）若存在x∈[-1，2]，使f（x）＜0成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知f(x)=-
1
2
ax2+x-ln(1+x)，其中a＞0．
（1）若x=3是函數f（x）的極值點，求a的值；
（2）求f（x）的單調區間；
（3）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

（    ）
A．B．
C．D．

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