已知函數f(x)＝
ax2－(2a＋1)x＋2lnx(a∈R).
（1）若曲線y＝f(x)在x＝1和x＝3處的切線互相平行，求a的值；
（2）當a≤0時，求f(x)的單調區間。
（1）
；（2）當a≤0時，f(x)在(0，2)上單調遞增，在(2，＋∞)上單調遞增.
解析試題分析：（1）因為f（x）=ax2－(2a＋1)x＋2lnx，所以f′(x)＝ax?(2a+1)+
．因為曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，所以f′（1）=f′（3）．由此能求出實數a．
（2）因為函數f（x）的定義域是（0，+∞），且f′（x）=
，再由實數a的取值范圍進行分類討論，能夠求出f（x）的單調區間．
試題解析：函數f(x)的定義域為(0，＋∞)
∵f ' (x)＝ax－(2a＋1)＋
（1）由已知函數f ' (1)＝f ' (3)
a－(2a＋1)＋2＝3a－(2a＋1)＋a＝ 6分
（2）f ' (x)＝
＝
(x∈(0，＋∞)) 8分
①當a＝0時，f ' (x)＝
，由f ' (x)＞0得0＜x＜2，由f ' (x)＜0得x＞2
∴f(x)在(0，2)上單調遞增，在(2，＋∞)上單調遞減 10分
②當a＜0時，由f ' (x)＝＝0的x1＝
(舍去)，x2＝2，由f ' (x)＞0的0＜x＜2，由f ' (x)＜0的x＞2
∴f(x)在(0，2)上單調遞增，在(2，＋∞)上單調遞減 12分
綜上：當a≤0時，f(x)在(0，2)上單調遞增，在(2，＋∞)上單調遞增 13分
考點：
鴻圖圖書寒假作業假期作業吉林大學出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
據統計某種汽車的最高車速為120千米∕時，在勻速行駛時每小時的耗油量
（升）與行駛速度（千米∕時）之間有如下函數關系：
。已知甲、乙兩地相距100千米。
（1）若汽車以40千米∕時的速度勻速行駛，則從甲地到乙地需耗油多少升？
（2）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知
，
，且直線
與曲線
相切．
（1）若對
內的一切實數
，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；
（2）當
時，求最大的正整數
，使得對
（
是自然對數的底數）內的任意個實數
都有
成立；
（3）求證：
．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設
，函數
．
（1）若
，求函數
在區間
上的最大值；
（2）若
，寫出函數的單調區間（不必證明）；
（3）若存在
，使得關于
的方程
有三個不相等的實數解，求實數
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設函數f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈
R，a，b為常數，已知曲線y＝f(x)與y＝g(x)在點(2,0)處有相同的切線l.
求a，b的值，并求出切線l的方程．
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，若函數
在
處與直線
相切，
，
的值；(2)求函數
上的最大值.
（e為自然對數的底數）
的最小值；
，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍.
．
上不是單調函數，求實數
的取值范圍；
時，討論函數
的零點個數．
＋blnx在(1，＋∞)上是減函數，求實數b的取值范圍．