Question

設f（x）=2sin(4x-

π

3

)
（1）將函數y=f（x）的圖象向左平移

π

8

個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，求g（x）．并用“五點法”畫出y=g（x），x∈[0，π]的圖象．
（2）若關于x的方程g（x）=k+1在[0，

π

2

]內有兩個不同根α、β，求α+β的值及k的取值范圍．

x

Answer 1

分析：（1）根據圖象變換規律，可得結論，從而可得函數的圖象；
（2）可在同一坐標系中畫出函數y=sin（2x+

π

6

）及y=

k+1

2

的圖象，借助于圖象的直觀性求解．

解答：解：（1）由題意，y=2sin（2x+

π

6

）

x	- π 12	π 6	5π 12	2π 3	11π 12
2x+ π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
y=2sin（2x+ π 6 ）	0	2	0	-2	0

函數圖象如圖所示，

（2）可在同一坐標系中畫出函數y=sin（2x+

π

6

）及y=

k+1

2

的圖象，借助于圖象的直觀性求解．
設C：y=sin，l：y=

k+1

2

，在同一坐標系中作出它們的圖象如下圖．
由圖易見當

1

2

≤

k+1

2

＜1時，即0≤k＜1時，直線l與曲線C有兩個交點，且兩交點的橫坐標為α、β，從圖象中還可看出α、β關于x=

π

3

對稱，故α+β=

2π

3

．
綜上可知，0≤k＜1，且α+β=

2π

3

．

點評：本題考查三角函數的圖象與性質，考查三角函數的圖象變換，屬于中檔題．