Question

用比較法證明下列不等式x，y∈R，x≠y，求證：x⁴+y⁴＞x³y+xy³．

Answer 1

【答案】分析：欲證明x⁴+y⁴＞x³y+xy³．根據比較法，只需證明：（a⁴+b⁴）-（a²b³+a³b²）＞0，即可，結合因式分解即可證得．
解答：證明：（a⁴+b⁴）-（a²b³+a³b²）=（ a⁵-a³b²）+（b⁵-a²b³）
=a³（a²-b²）-b³（a²-b²）=（a²-b²） （a³-b³）
=（a+b）（a-b）²（a²+ab+b²）
∵a，b都是正數，∴a+b，a²+ab+b²＞0
又∵a?1;b，∴（a-b）²＞0∴（a+b）（a-b）²（a²+ab+b²）＞0
即：a⁵+b⁵＞a²b³+a³b²
點評：比較法是證明不等式的一種最重要最基本的方法．作差法的三個步驟：作差--變形--判斷符號（與零的大小）--結論．