Question

設函數.
（1）用反證法證明：函數不可能為偶函數；
（2）求證：函數在上單調遞減的充要條件是.

Answer 1

(1)祥見解析；(2) 祥見解析．

試題分析：(1)反證法證明的一般步驟是：先假設結論不正確，從而肯定結論的反面一定成立，在此基礎上結合題目已知條件，經過正確的推理論證得到一個矛盾，從而得到假設不成立，所以結論正確；此題只需假設假設函數是偶函數，既然是偶函數，則對定義域內的一切x都有成立，那么我們為了說明假設不成立，即 不可能成立，只需任取一個特殊值代入檢驗即可；(2)由于是證明函數在上單調遞減的充要條件是：；應分充分性和必要性兩個方面來加以證明，先證充分性：來證明一定成立；再證必要性：由函數在上單調遞減在上恒成立，來證明即可，注意已知中的這一條件．
試題解析：(1)假設函數是偶函數，                                         2分
則，即，解得，                            4分
這與矛盾，所以函數不可能是偶函數.                               6分
(2)因為，所以.                                 8分
①充分性：當時，，
所以函數在單調遞減；                                       10分
②必要性：當函數在單調遞減時，
有，即，又，所以.                      13分
綜合①②知，原命題成立.                                                  14分
（說明：用函數單調性的定義證明的，類似給分；用反比例函數圖象說理的，適當扣分）