Question

對于定義域為的函數，若同時滿足：
①在內單調遞增或單調遞減；
②存在區間[]，使在上的值域為；
那么把函數（）叫做閉函數．
(1) 求閉函數符合條件②的區間；
(2) 若是閉函數，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）或或 ，（2）.

試題分析：（1）新定義的問題，首先按新定義進行等價轉化. 由題意，在[]上遞增，則解得或或,（2）若是閉函數，則存在區間[]，在區間[]上，函數的值域為[],可證明函數在定義域內單調遞增，因此∴ ∴ 為方程的兩個實數根. 即方程有兩個不相等的實根. 或解得，綜上所述，
試題解析：[解析]（1）由題意，在[]上遞增，則，
解得或或   
所以，所求的區間為[-1，0]或[-1，1]或[0，1] .     6分（解得一個區間得2分）
（2）若是閉函數，則存在區間[]，在區間[]上，
函數的值域為[]                        6分
容易證明函數在定義域內單調遞增，
∴                          8分
∴ 為方程的兩個實數根.             10分
即方程有兩個不相等的實根.
或               14分
解得，綜上所述，                  16分