Question

已知函數f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)對一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求實數a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）（2）[－2，＋∞)

【解析】(1)f′(x)＝ln x＋1，令f′(x)<0，得0<x<，所以f(x)的單調遞減區間是.令f′(x)>0得x>，所以f(x)的單調遞增區間是.

(2)由題意得：2xln x≤3x2＋2ax－1＋2，即2xln x≤3x2＋2ax＋1，

又x∈(0，＋∞)，∴a≥ln x－x－.

設h(x)＝ln x－x－.，則h′(x)＝－＋＝－.

令h′(x)＝0得x＝1或－ (舍)，

當0<x<1時，h′(x)>0；當x>1時，h′(x)<0 ，所以當x＝1時，h(x)取得最大值，h(x)max＝－2，所以a≥－2，所以a的取值范圍是[－2，＋∞)．