Question

（1）已知點和，過點的直線與過點的直線相交于點，設直線的斜率為，直線的斜率為，如果，求點的軌跡；

（2）用正弦定理證明三角形外角平分線定理：如果在中，的外角平分線與邊的延長線相交于點，則.

 

Answer 1

（1）的軌跡是以為頂點，焦點在軸的橢圓（除長軸端點）；（2）證明詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）本題屬直接法求軌跡方程，即根據題意設動點的坐標，求出，列出方程，化簡整理即可；（2）設，在中，由正弦定理得，同時在在中，由正弦定理得，然后根據，進而得到，最后將得到的兩等式相除即可證明.

試題解析：（1）設點坐標為，則 2分

整理得 4分

所以點的軌跡是以為頂點，焦點在軸的橢圓（除長軸端點） 6分

（2）證明：設

在中，由正弦定理得 ① 8分

在中，由正弦定理得，而

所以 ② 10分

①②兩式相比得 12分.

考點：1.軌跡方程的求法；2.正弦定理的應用.