Question

（本小題滿分12分）
已知數列滿足
（I）求的取值范圍；
（II）是否存在，使得？證明你的結論。

Answer 1

解：
（Ⅰ）由a₂＝＜a₁解得－3＜a₁＜0或a₁＞3．………………………………1分
當－3＜a₁＜0時，a₂＝＜＝－3，
a₃－a₂＝－a₂＝＞0，a₃＞a₂，與題設矛盾．…………………………3分
當a₁＞3時，先用數學歸納法證明a_n＞3．
（1）當n＝1時不等式成立．
（2）假設當n＝k時不等式成立，即a_k＞3，則
a_k＋1＝＞＝3，
即當n＝k＋1時不等式仍成立．
根據（1）和（2），對任何n∈N^*，都有a_n＞3．………………………………6分
∵a_n＋1－a_n＝－a_n＝＜0，∴a_n＋1＜a_n，n∈N^*，
綜上，a₁的取值范圍是(3，＋∞)．………………………………………………8分
（Ⅱ）假設存在使題設成立的正整數m，則
(a_m－3)(a_m＋2－3)＝(a_m＋1－3)²即(a_m－3)·＝(a_m＋1－3)²，
∴a_m－3＝2a_m＋1，即a_m－3＝，從而a_m＝－3，這不可能．

略