Question

給出集合A={-2，-1，，，，1，2，3}。已知a∈A，使得冪函數為奇函數，指數函數在區間(0，+∞)上為增函數。
（1）試寫出所有符合條件的a，說明理由；
（2）判斷f(x)在(0，+∞)的單調性，并證明；
（3）解方程：f[g(x)]=g[f(x)]。

Answer 1

（1）a=3
（2）f(x)=x³在(0，+∞)上為增函數
（3）x₁=0，x₂=，x₃=

解：（1）指數函數在區間(0，+∞)上為增函數，∴a>1，∴a只可能為2或3。而當a=2時，冪函數f(x)=x²為偶函數，只有當a=3時，冪函數f(x)=x³為奇函數故a=3…３分
（2）f(x)=x³在(0，+∞)上為增函數。                             
證明：在(0，+∞)上任取x₁，x₂，x₁<x₂，
f(x₁)-f(x₂)==，
∵x₁<x₂，∴x₁-x₂<0，>0，∴f(x₁)-f(x₂)>0，∴f(x₁)>f(x₂)。
∴f(x)=x³在(0，+∞)上為增函數。                                    …８分
（3）　　　　　　　　　　　．．．．１０分
根據指數函數的性質，得3x=x³，∴x₁=0，x₂=，x₃=。          …1２分