Question

設函數f（x）=ax²+bx+1（a，b為實數），
（1）若f（-1）=0且對任意實數x均有f（x）≥0成立，求f（x）表達式；
（2）在（1）的條件下，若g（x）=f（x）-kx，在區間[-2，2]上是單調函數，則實數k的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，F(x)=

f(x) (x＞0) -f(x) (x＜0)

，當x∈[-2，2]且x≠0時，求F（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）討論a=0的情況，然后根據f（-1）=0且對任意實數x均有f（x）≥0成立，建立方程組，解之即可；
（2）根據二次函數的單調性建立不等關系，即對稱軸不在區間[-2，2]上，解之即可求出k的取值范圍；
（3）分別求出每一段函數的值域，最后求并集即可求出F（x）的值域．

解答：解：（1）當a=0時，f（x）=bx+1，當f（-1）=0，即-b+1=0時，f（x）=x+1，不符合題意．
所以a≠0．
∵f（-1）=0且對任意實數x均有f（x）≥0成立
∴點（-1，0）為拋物線的頂點且開口向上．
∴

- b 2a =-1 b2-4a=0

解得

a=1 b=2

，
∴f（x）=x²+2x+1．
（2）g（x）=x²+（2-k）x+1
依題意有：-

2-k

2

≤-2或-

2-k

2

≥2
∴k≤-2或k≥6
（3）在[-2，0）上，F（x）=-x²-2x-1=-（x+1）²∈[-1，0]
在（0，2]上，F（x）=（x+1）²∈（1，9]
∴F（x）值域為[-1，0]∪（1，9]．

點評：本題主要考查了函數恒成立問題以及函數解析式、單調性和值域等有關問題，屬于中檔題．