Question

數列滿足，．
（Ⅰ）求、、；
（Ⅱ）求的表達式；
（Ⅲ）令，求．

Answer 1

（Ⅰ）、、；
（Ⅱ）
（Ⅲ）

解析試題分析：（Ⅰ）由遞推公式即可求出、、；（Ⅱ）方法一：猜想出通項公式，然后用數學歸納法證明；方法二：由遞推公式可以構造等比數列，借助等比數列可以求出通項公式；方法二：由遞推公式可以構造等差數列，借助等差數列可以求出通項公式；.
（Ⅰ）由遞推公式：、、；                       3分
（Ⅱ）方法一：猜想：，下面用數學歸納法證明：   
① ，猜想成立；
② 假設時，，
則，即時猜想成立，
綜合①②，由數學歸納法原理知：．                   8分
方法二：由得，
所以：．                               8分
方法三：由得：，兩式作差得：，
于是是首項，公差為的等差數列，那么，
且是首項，公差為的等差數列，那么，
綜上可知：．                            8分
（Ⅲ）
             10分
．                     12分.
考點：歸納推理、數學歸納法、數列求和.