Question

已知動點與定點的距離和它到直線的距離之比是常數,記的軌跡為曲線.

（I）求曲線的方程；

（II）設直線與曲線交于兩點，點關于軸的對稱點為,試問：當變化時，直線與軸是否交于一個定點？若是，請寫出定點的坐標，并證明你的結論；若不是，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（I）；（II）對于任意的，直線與軸交于定點．

【解析】

試題分析：（I）找出題中的相等關系，列出，化簡即得曲線的方程；（II）將直線方程代入曲線方程，消去得，記，則，且.特別地，令，則.此時，直線與軸的交點為．若直線與軸交于一個定點，則定點只能為．再證明對于任意的，直線與軸交于定點，可利用直線的兩點式方程結合分析法．

試題解析：（I）設是點到直線的距離,根據題意,點的軌跡就是集合

       

由此得              

將上式兩邊平方,并化簡得      

即，所以曲線的方程為  

（II）由得，即.  

記，

則，且.    

特別地，令，則.

此時，直線與軸的交點為．         

若直線與軸交于一個定點，則定點只能為．

以下證明對于任意的，直線與軸交于定點．

事實上，經過點的直線方程為.

令，得只需證， 

即證，即證.    

因為，   

所以成立．

這說明，當變化時，直線與軸交于定點．           …

考點：1、曲線方程求法；2、直線與圓錐曲線位置關系；3、定點問題．