Question

已知函數f(x)=

ax

x2+b

在x=1處取得極值2．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）當m滿足什么條件時，函數f（x）在區間（m，2m+1）上單調遞增？
（3）若P（x₀，y₀）為f(x)=

ax

x2+b

圖象上任意一點，直線l與f(x)=

ax

x2+b

的圖象切于點P，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數f(x)=

ax

x2+b

在x=1處取得極值2可得f（x）=2，f′（1）=0求出a和b確定出f（x）即可；
（2）令f′（x）＞0求出增區間得到m的不等式組求出解集即可；
（3）找出直線l的斜率k=f′（x₀），利用換元法求出k的最小值和最大值即可得到k的范圍．

解答：解：（1）因f/(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

，
而函數f(x)=

ax

x2+b

在x=1處取得極值2，
所以

f/(1)=0 f(1)=2

?

a(1+b)-2a=0 a 1+b =2

?

a=4 b=1

所以f(x)=

4x

1+x2

；
（2）由（1）知f/(x)=

4(x2+1)-8x2

(x2+1)2

=

-4(x-1)(x+1)

(1+x2)2

，
如圖，f（x）的單調增區間是[-1，1]，
所以，

m≥-1 2m+1≤1 m＜2m+1

?-1＜m≤0，
所以當m∈（-1，0]時，函數f（x）在區間（m，2m+1）上單調遞增．

（3）由條件知，過f（x）的圖形上一點P的切線l的斜率k為：k=f/(x0)=

4(1-x02)

(1+x02)2

=4×

-1-x02+2

(1+x02)2

=4[

2

(1+x02)2

-

1

1+x02

]
令t=

1

1+x02

，則t∈（0，1]，此時，k=8(t2-

1

2

t)=8(t-

1

4

)2-

1

2

根據二次函數k=8(t-

1

4

)2-

1

2

的圖象性質知：
當t=

1

4

時，k_min=-

1

2

，當t=1時，k_max=4
所以，直線l的斜率k的取值范圍是[-

1

2

 ， 4 ]．

點評：考查學生利用導數研究函數極值的能力，利用導數研究函數單調性的能力，以及直線斜率的求法．