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如圖,為△外接圓的切線,的延長線交直線于點,分別為弦與弦上的點,且,四點共圓.

(Ⅰ)證明:是△外接圓的直徑;
(Ⅱ)若,求過四點的圓的面積與△外接圓面積的比值.

（I）見解析；（II）.

解析試題分析：（I）證明是△外接圓的直徑，關鍵是證明，利用已知條件易于得到；在利用四點共圓，其對角互補即得證.
（II）通過連接明確四點的圓的直徑為，得到；根據，得，從而將圓面積之比，轉化成.
試題解析：（I）證明：∵為△外接圓的切線，∴，
∵，∴．

∵四點共圓，．
是△外接圓的直徑；
（II）連接，
∴過四點的圓的直徑為，由，得，
又
而
故過四點的圓的面積與△外接圓面積的比值為，
.
考點：與圓相關的比例線段

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，E為AB上的點，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB為直徑的圓與CD有怎樣的位置關系？

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，內接于上，，交于點E，點F在DA的延長線上，，求證：

（1）是的切線；
（2）.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，、是圓的半徑，且，是半徑上一點：延長交圓于點，過作圓的切線交的延長線于點.求證：.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖,在正△ABC中,點D,E分別在邊AC, AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于點F.

（Ⅰ）求證:A,E,F,D四點共圓;
（Ⅱ）若正△ABC的邊長為2,求A,E,F,D所在圓的半徑.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖所示，己知為的邊上一點，經過點，交于另一點，經過點，，交于另一點，與的另一交點為.

(I)求證：四點共圓；
（II)若切于，求證：.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的平分線，△ACD的外接圓交于BC于點E，AB＝2AC．

（Ⅰ）求證：BE＝2AD；
（Ⅱ）當AC＝1,EC＝2時，求AD的長．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，是的直徑，弦與垂直，并與相交于點，點為弦上異于點的任意一點，連結、并延長交于點、.
⑴ 求證：、、、四點共圓；
⑵ 求證：.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點，過點P的割線交圓于B、C兩點，弦CD∥AP，AD、BC相交于點E，F為CE上一點，且DE2 = EF·EC.

（Ⅰ）求證：CE·EB = EF·EP；
（Ⅱ）若CE:BE = 3:2，DE = 3，EF = 2，求PA的長.

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