Question

已知函數f(x)＝ex，x∈R.

(1)若直線y＝kx＋1與f(x)的反函數的圖像相切，求實數k的值；

(2)設x>0，討論曲線y＝f(x)與曲線y＝mx2(m>0)公共點的個數．

 

Answer 1

（1）k＝（2）若0<m<，曲線y＝f(x)與y＝mx2沒有公共點；若m＝，曲線y＝f(x)與y＝mx2有一個公共點；若m>，曲線y＝f(x)與y＝mx2有兩個公共點

【解析】(1)f(x)的反函數為g(x)＝ln x.

設直線y＝kx＋1與g(x)＝ln x的圖像在P(x0，y0)處相切，則有y0＝kx0＋1＝ln x0，k＝g′(x0)＝，

解得x0＝e2，k＝.

(2)曲線y＝ex與y＝mx2的公共點個數等于曲線y＝與直線y＝m的公共點個數．

令φ(x)＝，則φ′(x)＝，∴φ′(2)＝0.

當x∈(0，2)時，φ′(x)<0，φ(x)在(0，2)上單調遞減；當x∈(2，＋∞)時，φ′(x)>0，φ(x)在(2，＋∞)上單調遞增．

∴φ(x)在(0，＋∞)上的最小值為φ(2)＝.

綜上所述，當x>0時，大致圖像如圖所示，

若0<m<，曲線y＝f(x)與y＝mx2沒有公共點；

若m＝，曲線y＝f(x)與y＝mx2有一個公共點；

若m>，曲線y＝f(x)與y＝mx2有兩個公共點