Question

如圖,B地在A地的正東方向4千米處,C地在B地的北偏東30°方向2千米處,河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點到A的距離比到B的距離遠(yuǎn)2千米.

現(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭,向B、C兩地轉(zhuǎn)運貨物.

(1)經(jīng)測算,從M到B、C兩地修建公路的費用都是a萬元/千米,那么修建這兩條公路的總費用最低是(　　)

A. (+1)a萬元

B. (2-2)a萬元

C.2a萬元

D. (-1)a萬元

(2)經(jīng)測算,從M到B、M到C修建公路的費用分別為a萬元/千米、2a萬元/千米,那么修建這兩條公路的總費用最低是(　　)

A. (2-2)a萬元

B.5a萬元

C. (2+1)a萬元

D. (2+3)a萬元

Answer 1

解析:以AB的中點O為原點,AB為x軸建立直角坐標(biāo)系,取A(-2,0),B(2,0),則C(3,3),?

(1)總費用為a(|MB+MC|)=a(|MA-2+MC|)≥a(|AC-2|)=a(2-2),

當(dāng)M在AC上時取等號.?

答案: B

(2)因為|MA|-|MB|=2,所以曲線PQ是以A、B為焦點的雙曲線的右支,其方程為x²-=1,實軸長為2,離心率為2,

因此=2(d表示M到右準(zhǔn)線的距離).?

所以總費用為(|MB|+2|MC|)a=2a(|MB|+|MC|)=2a(d+|MC|),總費用最少,即d+|MC|最小,

最小值為C到右準(zhǔn)線的距離x_c-=3-=.

故總費用為2a×=5a(萬元).?

答案: B