Question

已知數列{an}是等差數列,a2=6,a5=12,數列{bn}的前n項和是Sn,且Sn+bn=1.

(1)求數列{an}的通項公式.

(2)求證:數列{bn}是等比數列.

(3)記cn=,{cn}的前n項和為Tn,若Tn<對一切n∈N*都成立,求最小正整數m.

 

Answer 1

(1) an=2n+2 (2)見解析 (3) 2012

【解析】(1)設{an}的公差為d,則a2=a1+d,a5=a1+4d.

∵a2=6,a5=12,∴

解得:a1=4,d=2.∴an=4+2(n-1)=2n+2.

(2)當n=1時,b1=S1,由S1+b1=1,得b1=.

當n≥2時,∵Sn=1-bn,Sn-1=1-bn-1,

∴Sn-Sn-1=(bn-1-bn),即bn=(bn-1-bn).

∴bn=bn-1.

∴{bn}是以為首項,為公比的等比數列.

(3)由(2)可知:bn=·()n-1=2·()n.

∴cn====-,

∴Tn=(1-)+(-)+(-)+…+(-)=1-<1,

由已知得≥1,∴m≥2012,

∴最小正整數m=2012.