Question

已知函數R，且.

（1）當時，若函數存在單調遞減區間，求的取值范圍；

（2）當且時，討論函數的零點個數.

Answer 1

解析：（1）當時，函數，其定義域是，

∴.                               

函數存在單調遞減區間，

∴在上有無窮多個解.

∴關于的不等式在上有無窮多個解.      

① 當時，函數的圖象為開口向上的拋物線，

  關于的不等式在上總有無窮多個解.      

② 當時，函數的圖象為開口向下的拋物線，其對稱軸為

.要使關于的不等式在上有無窮多個解.

必須，

解得，此時.                                     

綜上所述，的取值范圍為.                       

另解：分離系數：不等式在上有無窮多個解，

則關于的不等式在上有無窮多個解，

∴，即，而.                                

∴的取值范圍為.                             

（2）當時，函數，其定義域是，

∴.

令，得，即，   

，                                               

，，則，   

∴                       

當時，；當1時，.

∴函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減.                 

∴當時，函數取得最大值，其值為.

① 當時，，若, 則, 即.

此時，函數與軸只有一個交點，故函數只有一個零點；              

② 當時，，又,

,

函數與軸有兩個交點，故函數有兩個零點；                       

③ 當時，，函數與軸沒有交點，故函數沒有零點.