Question

（本小題12分）某公司生產一種產品每年需投入固定成本為0.5萬元，此外每生產100件這種產品還需要增加投入0.25萬元.經預測知，當售出這種產品百件時，若，則銷售所得的收入為萬元：若，則銷售收入為萬元.
(1)若該公司的這種產品的年產量為百件，請把該公司生產并銷售這種產品所得的年利潤表示為當年生產量的函數；
(2)當年產量為多少時，當年公司所獲利潤最大？

Answer 1

（1）
（2）當年產量為4.75（百件）時，當年公司所得利潤最大，最大為10.78125萬元.

試題分析：（1）分類討論：①當0≤x≤5時，②當x＞5時，分別寫出函數f（x）的表達式，最后利用分段函數的形式寫出所求函數解析式即可；
（2）分別求出當0≤x≤5時，及當x＞5時，f（x）的最大值，最后綜上所述，當x為多少時，f（x）有最大值，即當年產量為多少件時，公司可獲得最大年利潤．
解：（1）當時，=
當時，

（2）當時，==
當時，
當時，
當年產量為4.75（百件）時，當年公司所得利潤最大，最大為10.78125萬元.
點評：解決該試題的關鍵是函數模型為分段函數，求分段函數的最值，應先求出函數在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值為整個函數的最大值，取各部分的最小者為整個函數的最小值。