Question

已知函數(shù)，其中是常數(shù)且.
（1）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
（3）設(shè)是正整數(shù)，證明：.

Answer 1

（1） ；（2）當(dāng)時(shí)， 的減區(qū)間為，增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)， 的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（3）詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)法，然后才有分離參數(shù)的思路進(jìn)行求解； （2）明確函數(shù)的解析式，利用求導(dǎo)法和分類(lèi)討論進(jìn)行求解；（3）用代替中的得到，再證明不等式成立.
試題解析：（1）∵，則，∴，
∵當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，∴在時(shí)恒成立.     （2分）
即在時(shí)恒成立. ∵當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，
∴當(dāng)時(shí)，，∴.         （4分）
（2）∵，∴，
∴，                 （5分）
∴當(dāng)時(shí)，由得或，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
當(dāng)時(shí)，由得或，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.                                   （9分）
（3）由（1）知，當(dāng)，時(shí)，在時(shí)增函數(shù)，
∴，即，∴，
∵，∴，∴，
即，            （12分）
∴

∴.        （14分）
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性,不等式的證明.