Question

已知下列命題命題：①橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1中，若a，b，c成等比數(shù)列，則其離心率e=

5 -1

2

；②雙曲線x²-y²=a²（a＞0）的離心率e=

2

且兩條漸近線互相垂直；③在正方體上任意選擇4個頂點，它們可能是每個面都是直角三角形的四面體的4個頂點；④若實數(shù)x，y∈[-1，1]，則滿足x²+y²≥1的概率為

π

4

．其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：①根據(jù)a，b，c成等比數(shù)列得出a，b，c的關(guān)系，進而可求得c關(guān)于a的表達式，進而根據(jù) e=

c

a

求得e．
②由雙曲線的標準方程，則可表示出其漸近線的方程，根據(jù)兩條直線垂直，推斷出其斜率之積為-1進而求得a和b的關(guān)系，進而根據(jù)c=

a2+b2

求得a和c的關(guān)系，則雙曲線的離心率可得．
③找出正方體中的四面體的各種圖形，例如側(cè)棱垂直底面直角三角形的四面體即可判斷③的正誤；
④用幾何概型判斷即可．

解答：解：①已知a，b，c成等比數(shù)列，∴ac=b²，橢圓的離心率 e=

5 -1

2

，故正確；
②雙曲線x²-y²=a²（a＞0），則雙曲線的漸近線方程為y=±x
∴兩條漸近線互相垂直，
∵a²=b²，
∴c=

a2+b2

=

2

a
∴e=

c

a

=

2

，故正確；
③如四面體B₁ABD；故正確；
④概率應為1-

π

4

，故錯．
故答案是①②③．

點評：本題主要考查了橢圓的基本性質(zhì)，考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．解答關(guān)鍵是學生轉(zhuǎn)化和化歸思想和對圓錐曲線的基礎(chǔ)知識的把握程度．