Question

如果函數y=a^x（a^x-3a²-1）（a＞0且a≠1）在區間[0，+∞）上是增函數，那么實數a的取值范圍是（　　）

• A、(0，

  2

  3

  ]
• B、[

  3

  3

  ，1)
• C、(0，

  3

  ]
• D、[

  3

  2

  ，+∞)

Answer 1

分析：將函數y=a^x（a^x-3a²-1）轉化為二次函數來考慮即可得到答案．

解答：解：函數y=a^x（a^x-3a²-1）（a＞0且a≠1）可以看作是關于a^x的二次函數，
若a＞1，則y=a^x是增函數，原函數在區間[0，+∞）上是增函數，
則要求對稱軸

3a2+1

2

≤1，矛盾；
若0＜a＜1，則y=a^x是減函數，原函數在區間[0，+∞）上是增函數，
則要求當t=a^x（0＜t＜1）時，
y=t²-（3a²+1）t在t∈（0，1）上為減函數，
即對稱軸

3a2+1

2

≥1，
∴a2≥

1

3

，
∴實數a的取值范圍是[

3

3

，1)，
故選B．

點評：本題主要考查將復雜函數式轉化為二次函數的問題．注意轉化后函數定義域的轉變．