Question

4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內．
（1）恰有1個盒不放球，共有幾種放法？
（2）恰有1個盒內有2個球，共有幾種選法？
（3）恰有2個盒不放球，共有幾種放法？

Answer 1

分析：（1）為保證“恰有一個盒內不放球”，先選一個盒子，再將4個球分成2，1，1三組，然后全排列，由分步乘法計數原理，可得結論；
（2）“恰有一個盒子放2球”與“恰有一個盒子不放球”是一回事，由此可得結論；
（3）先從四個盒子中任意拿走兩個，有

C

2 4

種方法．然后問題轉化為：“4個球，兩個盒子，每個盒子必放球，有幾種放法？”從放球數目，進行分類討論，即可得到結論．

解答：解：（1）為保證“恰有一個盒內不放球”，先選一個盒子，有

C

1 4

種方法；再將4個球分成2，1，1三組，有

C

2 4

種分法，然后全排列，由分步乘法計數原理，共

A

3 3

有種放法，故共有

C

1 4

C

2 4

A

3 3

=144種放法；
（2）“恰有一個盒內有2個球”，即另外的三個盒子放2個球，每個盒子至多放1個球，即另外三個盒子中恰有一個空盒，因此，“恰有一個盒子放2球”與“恰有一個盒子不放球”是一回事，共有

C

1 4

C

2 4

A

3 3

=144種放法；
（3）先從四個盒子中任意拿走兩個，有

C

2 4

種方法．然后問題轉化為：“4個球，兩個盒子，每個盒子必放球，有幾種放法？”從放球數目看，可分為3，1和2，2兩類：
第一類：可從4個球中先選3個，然后放入指定的一個盒子中即可，有

C

3 4

C

1 2

種放法；
第二類：有

C

2 4

種放法．
由分步計數原理得“恰有兩個盒子不放球”的放法有

C

2 4

（

C

3 4

C

1 2

+

C

2 4

）=84放法．

點評：本題考查排列組合知識，考查利用數學知識解決實際問題，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．