Question

（1）求直線2x+11y+16=0關于點P（0，1）對稱的直線方程．
（2）求直線2x-y+1=0關于直線x-y+2=0對稱的直線方程．
（3）兩平行直線3x+4y-1=0與6x+8y+3=0關于直線l對稱，求l的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意，得所求直線與直線2x+11y+16=0平行且P點到兩直線的距離相等．因此設所求直線方程為2x+11y+C=0，利用點到直線的距離列式，解出C值即可得到所求對稱直線方程；
（2）根據題意，設所求直線上任一點M（x，y）且M關于直線x-y+2=0的對稱點M'（x₁，y₁），利用軸對稱的性質列出方程組解出用x、y表示x₁、y₁的式子，再由點M'在直線2x-y+1=0上代入，化簡即得所求對稱直線方程；
（3）根據題意，直線l與3x+4y-1=0、6x+8y+3=0平行，且l到兩直線的距離相等，再利用點到直線的距離公式列式，即可解出直線l的方程．

解答：解：（1）∵所求直線與直線2x+11y+16=0關于點P（0，1）對稱
∴所求直線與直線2x+11y+16=0平行，它們到P點距離相等，
因此，設所求直線方程為2x+11y+C=0，可得

|2×0+11×1+16|

22+112

=

|2×0+11×1+C|

22+112

，解之得C=-38（舍去16），
∴所求直線2x+11y-38=0．
（2）設所求直線上任一點M（x，y），M關于直線x-y+2=0的對稱點M'（x₁，y₁），
則

y-y1 x-x1 =-1 2• x+x1 2 - y+y1 2 +2=0

，解出

x1=y-2 y1=x+2

（*）
∵點M'在直線2x-y+1=0上，滿足2x₁-y₁+1=0
∴將（*）式代入，得2（y-2）-（x+2）+1=0，
化簡得x-2y+5=0，即為直線2x-y+1=0關于直線x-y+2=0對稱的直線方程．
（3）∵兩平行直線3x+4y-1=0與6x+8y+3=0關于直線l對稱，
∴直線l是與兩直線平行且距離相等且與它們平行的一條直線，
設l：6x+8y+C=0，可得

|C-3|

62+82

=

|C+2|

62+82

，解之得C=

1

2

，
即直線3x+4y-1=0與6x+8y+3=0的對稱軸l方程為：6x+8y+

1

2

=0．

點評：本題要我們求直線關于點的對稱直線、直線關于直線的對稱直線和兩條平行線構成圖形的對稱軸．著重考查了直線的基本量與基本形式、點到直線的距離公式和軸對稱的性質等知識，屬于中檔題．