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已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)C：的左右焦點為F1，F2，離心率為e，直線l：y=ex+a與x軸、y軸分別交于點A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，且
AM
=
3
4
AB

（1）計算橢圓的離心率e
（2）若直線l向右平移一個單位后得到l′，l′被橢圓C截得的弦長為
5
4
，則求橢圓C的方程．
（1）y=ex+a，∴A（-
a
e
，0），B（0，a）
由
y=ex+a
x2
a2
+
y2
b2
=1
，∴
x=-c
y=
b2
a
∴M（-c，
b2
a
），由
AM
=
3
4
AB
，得
（-c+
a
e
，
b2
a
）=
3
4
（
a
e
，a），即
a
e
-c=
3
4
a
e
b2
a
=
3
4
a
∴e2=1-
3
4
=
1
4
，∴e=
1
2

（2）∵e=
1
2
，設橢圓的方程為3x2+4y2=3a2，l：y=
1
2
x-
1
2
+a
即
3x2+4y2=3a2
y=
1
2
x-
1
2
+a
消y，得4x2+（4a-2）x+a2-4a+1=0．設l交橢圓于B（x1，y1），C（x2，y2）
∴x1+x2=-
4a-2
4
，x1x2=
a2-4a+1
4


∴l(xiāng)=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
=
5
4
12a-3
4
=
5
4

∴a=
2
3
∴橢圓的方程為
x2
4
9
+
y2
1
3
=1
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（1）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
6
3
，橢圓C上任意一點到橢圓兩焦點的距離和為6．求橢圓C的方程；
（2）直線l：y=kx+1與雙曲線C：2x2-y2=1的右支交于不同的兩點A、B．求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線頂點在原點，圓x2+y2=4x的圓心是拋物線的焦點，直線l過拋物線的焦點，且斜率為2，直線l交拋物線與圓依次為A、B、C、D四點．

（1）求拋物線的方程．
（2）求|AB|+|CD|的值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

橢圓
x2
2
+
y2
=1上的點到直線2x-y=7距離最近的點的坐標為（　　）
A．（-
4
3
，
1
3
）		B．（
4
3
，-
1
3
）		C．（-
4
3
，
17
3
）		D．（
4
3
，-
17
3
）

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

若直線y=kx+1與曲線x=
1-4y2
有兩個不同的交點，則k的取值范圍是______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知點P是圓F1：(x+
3
)2+y2=16上任意一點，點F2與點F1關于原點對稱．線段PF2的中垂線與PF1交于M點．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）設軌跡C與x軸的兩個左右交點分別為A，B，點K是軌跡C上異于A，B的任意一點，KH⊥x軸，H為垂足，延長HK到點Q使得HK=KQ，連接AQ延長交過B且垂直于x軸的直線l于點D，N為DB的中點．試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關系．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

雙曲線E的漸近線方程為y=±
4
3
x，且經過點(2
3
，
4
3
3
)
（1）求雙曲線E的方程；
（2）F1，F2為雙曲線E的兩個焦點，P為雙曲線上一點，若|PF1|•|PF2|=32，求∠F1PF2的大小．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，F1，F2分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右兩個焦點，A，B為兩個頂點，已知橢圓C上的點到F1，F2兩點的距離之和為4且b=
3
．
（1）求橢圓C的方程和焦點坐標；
（2）過橢圓C的焦點F2作AB的平行線交橢圓于P，Q兩點，求△F1PQ的面積．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為e．直線l：y=ex+a與x軸、y軸分別交于A，B兩點．
（1）求證：直線l與雙曲線C只有一個公共點；
（2）設直線l與雙曲線C的公共點為M，且
AM
=λ
AB
，證明：λ+e2=1；
（3）設P是點F1關于直線l的對稱點，當△PF1F2為等腰三角形時，求e的值．

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