Question

某食品廠對生產的某種食品按行業標準分成五個不同等級，等級系數X依次為A，B，C，D,E.現從該種食品中隨機抽取20件樣品進行檢驗，對其等級系數進行統計分析，得到頻率分布表如下：

(1)在所抽取的20件樣品中，等級系數為D的恰有3件，等級系數為E的恰有2件，求a,b,c的值；
(2)在（1)的條件下，將等級系數為D的3件樣品記為x₁，x₂，x₃，等級系數為E的2件樣品記為y₁，y₂，現從x₁，x₂，x₃，y₁，y₂這5件樣品中一次性任取兩件（假定每件樣品被取出的可能性相同），試寫出所有可能的結果，并求取出的兩件樣品是同一等級的概率．

Answer 1

（1）a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1；（2）.

試題分析：本題主要考查頻率分布表和隨機事件的概率等數學知識，考查學生分析問題解決問題的能力和計算能力.第一問，利用分別求出和的值，而由頻率分布表知所有頻率之和為1，利用上述所求的和，求出的值；第二問，列出在5件中任取2件的所有情況共10個，在這10個中選出同一等級的情況共4個，并求出概率.
試題解析：(1)由頻率分布表得a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，即a＋b＋c＝0.35.
因為抽取的20件樣品中，等級系數為D的恰有3件，所以.
等級系數為E的恰有2件，所以.
從而a＝0.35－b－c＝0.1.
所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.（6分）
(2)從樣品x₁，x₂，x₃，y₁，y₂中任取兩件，所有可能的結果為：
(x₁，x₂)，(x₁，x₃)，(x₁，y₁)，(x₁，y₂)，(x₂，x₃)，(x₂，y₁)，(x₂，y₂)，(x₃，y₁)，(x₃，y₂)，(y₁，y₂)，共計10個．
設事件A表示“從樣品x₁，x₂，x₃，y₁，y₂中任取兩件，其等級系數相等”，
則A包含的基本事件為：(x₁，x₂)，(x₁，x₃)，(x₂，x₃)，(y₁，y₂)，共4個．
故所求的概率.（12分）