Question

下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是減函數的是（　　）

• A、y=e^x
• B、y=sinx
• C、y=-x³
• D、y=log

  1

  2

  x

Answer 1

分析：A：因為f（-x）=e^-x≠-f（x），所以函數f（x）=e^x不是奇函數．B：函數f（x）=sinx的減區間為[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]．
C：因為函數的定義域為R關于原點對稱，并且f（-x）=-（-x）³=x³=-f（x），又f′（x）=-3x²≤0，所以函數在定義域內即是減函數又是奇函數．
D：因為函數的定義域為（0，+∞）不關于原點對稱所以D錯誤．

解答：解：A：因為f（x）=e^x，所以f（-x）=e^-x≠-f（x），所以函數f（x）=e^x不是奇函數，所以A錯誤．
B：由題意可得：函數f（x）=sinx的減區間為[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，所以其在定義域內不是減函數，所以B錯誤．
C：因為函數的定義域為R關于原點對稱，并且f（-x）=-（-x）³=x³=-f（x），所以函數f（x）=-x³是奇函數．
又因為f′（x）=-3x²≤0，所以函數在定義域內是減函數．所以C正確．
D：因為函數的定義域為（0，+∞）不關于原點對稱，所以函數是非奇非偶函數，所以D錯誤．
故選C．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握判斷函數奇偶性與單調性的方法，以及掌握奇函數、偶函數、減函數、增函數的有關定義．