Question

判斷下列函數的奇偶性：
（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·；
（3）；（4）

Answer 1

⑴奇函數，⑵既不是奇函數也不是偶函數，⑶奇函數，⑷奇函數

判斷函數的奇偶性應依照定義解決，但都要先考查函數的定義域。
（1）函數的定義域x∈（－∞，+∞），對稱于原點.
∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x），
∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函數.
（2）先確定函數的定義域.由≥0，得－1≤x＜1，其定義域不對稱于原點，所以f（x）既不是奇函數也不是偶函數.
（3）去掉絕對值符號，根據定義判斷.
由得
故f（x）的定義域為［－1，0）∪（0，1］，關于原點對稱，且有x+2＞0.
從而有f（x）==，∴f（－x）==－=－f（x）
故f（x）為奇函數.
（4）∵函數f（x）的定義域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且當x＞0時，－x＜0，
∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）.
當x＜0時，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.
故函數f（x）為奇函數.
1函數的奇偶性是函數的一個整體性質, 定義域具有對稱性 ( 即若奇函數或偶函數的定義域為D, 則時) 是一個函數為奇函數或偶函數的必要條件
2分段函數的奇偶性一般要分段證明.③判斷函數的奇偶性應先求定義域再化簡函數解析式.
題型2：證明抽象函數的奇偶性