Question

如圖所示，自點A(-3，3)發出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x²+y²-4x-4y+7=0相切，求光線l所在直線的方程.

Answer 1

思路解析：根據入射角等于反射角可以求出反射光線的斜率;也可以考慮利用對稱來求解.

解法一：由已知，圓的標準方程為(x-2)²+(y-2)²＝1.

設光線l所在直線的方程為y-3=k(x+3).

由題意知k≠0，于是l的反射點的坐標是B(-，0).

 因為光線入射角等于反射角，所以反射光線l′所在直線的方程是 y=-k［x+］.整理，得kx+y+3k+3＝0.

這條直線與已知圓相切，如圖所示，因而圓心到它的距離等于半徑1.

即=1,12k²+25k+12=0.

解得k=-，或k=-.

故所求直線方程為y-3＝-(x+3)，或y-3＝-(x+3)，

即3x+4y-3＝0，或4x+3y+3＝0.

本題也可先求圓C關于x軸的對稱圓方程，再利用對稱圓的圓心C′到入射光線所在直線的距離等于圓C的半徑求斜率k，得所求直線方程，如圖，從而有以下另一解法.

解法二：∵圓C：(x-2)²+(y-2)²＝1，

∴圓C關于x軸的對稱圓C′為(x-2)²+(y+2)²=1.

令l：y-3＝k(x+3)，則kx-y+3+3k=0，

∴1=.

∴k=-，或k=-.

∴l：3x+4y-3＝0，或4x+3y+3=0.

解法三:設A關于x軸的對稱點為A′，則A′(-3，-3).

A′點在反射光線l′上.

設反射光線的斜率為k，則其方程為

y+3＝k(x+3)，即kx-y+3k-3=0.

由直線與圓相切，∴=1.

解得k＝，或k=，

∴l′：4x-3y+3＝0或3x-4y-3=0.

令y=0,得x＝或x＝，即l′與x軸交點為(，0)或(，0)，由兩點式可得 l的方程為3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.

深化升華

    光線反射問題，常常考慮對稱；而圓的切線問題則常用幾何法，即考慮圓心到直線的距離和半徑的大小關系.