Question

已知sin2α-

sin4β

cos2γ

=

cos4β

sin2γ

-cos2α
（1）求證：sin²β=cos²γ；
（2）探求角β，γ的關系．

Answer 1

分析：（1）對所給的式子進行移項，再同分進行化簡，主要利用平方關系進行轉化為含有sin²β和cos²γ的式子，進行因式分解并合并；
（2）根據（2）的結論分兩種情況進行求解，利用誘導公式和正弦函數的性質，找出兩個角的關系．

解答：證明：（1）∵sin2α-

sin4β

cos2γ

=

cos4β

sin2γ

-cos2α，∴

sin4β

cos2γ

+

cos4β

sin2γ

=1，
∵sin⁴βsin²γ+cos⁴βcos²γ=cos²γsin²γ，
∴sin²γcos²γsin⁴β（1-cos²γ）+（1-sin²β）²cos²γ=0
（1-cos²γ）cos²γsin⁴β-2sin²βcos²γ+cos⁴γ=0
∴（sin²β-cos²γ）²=0，即sin²β=cos²γ．
解：（2）由（1）知有兩種情況，
當sinβ=cosγ=sin(

π

2

-γ)時，則β±γ=

π

2

+2kπ(k∈Z)，
當sinβ=-cosγ=sin(γ-

π

2

)時，有β±γ=-

π

2

+2kπ(k∈Z)．

點評：本題是三角恒等變換的綜合題，考查了同角的平方關系的應用，誘導公式的應用和正弦函數的應用，考查了邏輯思維能力．