Question

請考生在下列兩題中任選一題作答，若兩題都做，則按所做的第一題評閱計分．
1（1）．（幾何證明選講選做題）如圖，四邊形ABCD是圓O的內接四邊形，
延長AB和DC相交于點P，若

PB

PA

=

1

2

，

PC

PD

=

1

3

，則

BC

AD

的值為

6

6

．
（2）．（坐標系與參數方程選做題） 極坐標系中，A為曲線ρ²+2ρcosθ-3=0上
的動點，B為直線ρcosθ+ρsinθ-7=0的動點，則|AB|距離的最小值為

4

2

-2

．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是圓O的內接四邊形，知∠PBC=∠D，∠PCB=∠A，故△PBC∽△PDA，設PB=x，PC=y，由

PB

PA

=

1

2

，

PC

PD

=

1

3

，得PA=2x，PD=3y，由此能求出

BC

AD

．
（2）曲線ρ²+2ρcosθ-3=0是圓心為（-1，0），半徑為r=

1

2

4+12

=2的圓，直線ρcosθ+ρsinθ-7=0的普通方程為x+y-7=0，由此利用點到直線的距離公式能求出|AB|距離的最小值．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是圓O的內接四邊形，延長AB和DC相交于點P，
∴∠PBC=∠D，∠PCB=∠A，
∴△PBC∽△PDA，
設PB=x，PC=y，
∵

PB

PA

=

1

2

，

PC

PD

=

1

3

，
∴PA=2x，PD=3y，
由△PBC∽△PDA，得

BC

AD

=

PB

PD

=

PC

PA

，
∴

x

3y

=

y

2x

，解得y=

6

3

x，
∴

BC

AD

=

x

3y

=

x

3× 6 3 x

=

6

6

．
故答案為：

6

6

．
（2）∵曲線ρ²+2ρcosθ-3=0的普通方程為x²+y²+2x-3=0，
∴曲線是圓心為（-1，0），半徑為r=

1

2

4+12

=2的圓，
∵直線ρcosθ+ρsinθ-7=0的普通方程為x+y-7=0，
∴圓心為（-1，0）到直線的距離d=

|-1+0-7|

2

=4

2

，
∴|AB|距離的最小值為4

2

-2．
故答案為：4

2

-2．

點評：第（1）考查圓的內接四邊形的性質及其應用，第（2）題考查圓和直線的極坐標方程的應用．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．