Question

設函數f（x）=

m

•

n

，其中向量

m

=(2cosx，1)， 

n

=(cosx，

3

sin2x)，x∈R．
（1）求函數f（x）的最小正周期與單調遞減區間；
（2）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，已知f（A）=2，b=1，△ABC的面積為

3

2

，求△ABC外接圓半徑R．

Answer 1

分析：（1）直接把向量代入函數f（x）=

m

•

n

，利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數化為求f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1，利用正弦函數的單調減區間求函數的單調遞減區間；利用周期公式求出函數f（x）的最小正周期．
（2）已知f（A）=2，求出A的值，通過b=1，△ABC的面積為

3

2

求出c，再用余弦定理推出△ABC為直角三角形，然后求△ABC外接圓半徑R．

解答：解：（1）由題意得f(x)=2cos2x+

3

sin2x=cos2x+

3

sin2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1．
所以，函數f（x）的最小正周期為T=π，由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z得
函數f（x）的單調遞減區間是[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]k∈Z（6分）
（2）∵f(A)=2，∴2sin(2A+

π

6

)+1=2，解得A=

π

3

，
又∵△ABC的面積為

3

2

，b=1．得

1

2

bcsinA=

3

2

∴c=2．
再由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，解得a=

3

∴c²=a²+b²，即△ABC為直角三角形．∴R=

c

2

=1（l2分）

點評：本題是基礎題，考查二倍角公式，兩角和的正弦函數，三角函數的最值，周期，以及三角形的知識，是綜合題，考查計算能力，�？碱}型．