Question

已知點(diǎn)A（5，0）和⊙B：（x+5）²+y²=36，P是⊙B上的動點(diǎn)，直線BP與線段AP的垂直平分線交于點(diǎn)Q．
（1）證明點(diǎn)Q的軌跡是雙曲線，并求出軌跡方程．
（2）若，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點(diǎn)Q在線段AP的垂直平分線上，知|QP|=|QA|，所以||BQ|-|PQ||=||BQ|-|AQ||=6．由此能求出點(diǎn)Q的軌跡方程．
（2）以A、B、Q為三個頂點(diǎn)作平行四邊形ABQC，則．由，知，所以平行四邊形ABQC是菱形，由此能求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵點(diǎn)Q在線段AP的垂直平分線上，
∴|QP|=|QA|，
∴||BQ|-|PQ||=||BQ|-|AQ||=6．
∴點(diǎn)Q的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線．（4′）
其軌跡方程是．（7′）
（2）以A、B、Q為三個頂點(diǎn)作平行四邊形ABQC，
則∵，
∴，
∴平行四邊形ABQC是菱形，
∴．（8′）
∴點(diǎn)Q在圓（x+5）²+y²=100上．
解方程組．（10′）
得或．（12′）

點(diǎn)評：本題主要考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系，圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．