Question

某公司試銷一種成本價為500元/件的新產品．規定試銷時銷售單價不低于成本單價，又不高于800元/件，經試銷調查，發現銷售量y（件）與銷售單價x（元/價），可近似看做一次函數y=kx+b的關系（如圖所示）
（1）根據圖象，求一次函數y=kx+b的表達式；
（2）設公司獲得的毛利潤（毛利潤=銷售總價-成本總價）為S．
①試用銷售單價x表示S；
②試問銷售單價定為多少時，該公司可獲得最大的毛利潤？

Answer 1

分析：（1）把點（700，300）和點（600，400）分別代入一次函數y=kx+b，解方程組求得k和b的值，即可得到一次函數y=kx+b的表達式．
（2）由題意可得 S=y•x-500y，化簡可得S=-x²+1500x-500000，利用二次函數性質求出函數的最大值以及函數取最大值時x的值．

解答：解：（1）把點（700，300）和點（600，400）分別代入一次函數y=kx+b可得 300=700k+b，且400=600k+b，
解得 k=-1，b=1000，故一次函數y=kx+b的表達式為 y=-x+1000．
（2）∵公司獲得的毛利潤（毛利潤=銷售總價-成本總價）為S，則 S=y•x-500y=（-x+1000 ）x-500（-x+1000）=-x²+1500x-500000．
故函數S的對稱軸為x=750，滿足 500≤x≤800，故當x=750時，函數S取得最大值為62500元，
即當銷售單價定為750元/價時，該公司可獲得最大的毛利潤為62500元．

點評：本題主要考查用待定系數法求直線方程，二次函數性質的應用，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．