Question

已知函數數列a_n的前n項和為S_n（n∈N^*），點（n，S_n）均在函數y=f（x）的圖象上，
（1）求數列a_n的通項公式a_n；
（2）令，證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）點（n，S_n）均在函數y=f（x）的圖象上，則s_n=n²+n，可得a_n=S_n-S_n-1=n+1，并驗證a₁即可；
（2）證明：由c_n=+＞2，得c₁+c₂+…+c_n＞2n；由c_n=+=2+-，得c₁+c₂+…+c_n=2n+（-+-+…+-）=2n+-＜2n+；即證．
解答：解：（1）∵點（n，S_n）均在函數y=f（x）的圖象上，
∴，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n+1，a₁也適合，所以a_n=n+1（n∈N^*）．
（2）證明：∵，∴c₁+c₂+…+c_n＞2n；
又c_n=+=2+-，∴c₁+c₂+…+c_n=2n+（-+-+…+-）=2n+-＜2n+；
∴2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+．
點評：本題考查了數列與函數的綜合應用問題，解題時運用了數列的前n項和求通項公式，應用基本不等式，拆項法等證明不等式成立，屬于中檔題．