Question

（本題滿分14分）已知函數. 
（1）是否存在實數使函數f(x)為奇函數？證明你的結論；
（2）用單調性定義證明:不論取任何實數，函數f(x)在其定義域上都是增函數;
（3）若函數f(x)為奇函數，解不等式.

Answer 1

（1）當時，函數f(x)為奇函數；（2）證明：見解析。
（3） 

試題分析：（1）根據f(x)為奇函數，可確定f(-x)+f(x)=0恒成立.從而可得a值.
（2）利用單調性的定義證明分三個步驟：一取值，二作差變形判斷差值符號，三確定單調性.
（3）利用單調性與奇偶性把不等式轉化為進一步轉化為,
然后利用單調性轉化為求解.
（1）    函數f(x)的定義域為 即 …1分
假設存在實數使函數f(x)為奇函數，
由得 解得    …2分，


當時，函數f(x)為奇函數……………4分
（2）證明：任取，且

            …7分
 ， 
又
即  
不論取何值，函數f(x)在其定義域上都是增函數. …………9分
（3）由得 
函數f(x)為奇函數

由（2）已證得函數在Ｒ上是增函數
 
 
不等式的解集為…………14分
點評：判定函數的奇偶性先確定定義域是否關于原點對稱；利用單調性證明證明時要注意三個步驟一取值，作差變形，得出結論.變形的目的是判斷差值符號.解抽象不等式要注意利用單調性脫掉法則符號f轉化為普通不等式求解.