Question

已知函數的最大值為0，其中。
（1）求的值；
（2）若對任意，有成立，求實數的最大值；
（3）證明：

Answer 1

（1） ;（2）;（3）詳見解析．

試題分析：（1）根據函數的特征可對函數求導，由導數等于零，可求出函數的零點，利用導數與函數單調性的關系：導數大于零，函數在對應區間上單調增，導數小于零，函數在對應區間上單調減，就可用表示出函數的最大值進而求出;（2）先定性分析的范圍，發現當時，易得，即可得出矛盾，進而只有小于零，對函數求導后得出導數為零的，再根據與零的大小關系，可發現要以為界進行討論，又由結合函數的單調性不難得出只有時不等式 恒成立; （3）當時，不等式顯然成立; 當時，首先結合（1）中所求函數得出求和的表達式，這樣與所要證不等式較近了，再結合（2）中所證不等式，取的最大值，即，兩式相結合，最后用放縮法可證得所要證明不等式．
試題解析：（1）定義域為
,由=0，得 .        1分
當變化時，，變化情況如下

	(-a,1-a)	1-a	(1-a,+∞)
	+	0	-
	增	極大值	減

因此，在處取得最大值，故 ,所以 .       3分
（2）當時，取有，故不合題意;當時，令，令，得，①時，中恒成立，因此在單調遞增，從而對任意的，總有，即在恒成立．故符合題意;②當時，對于，故在內單調遞減，因此取，即不成立，故不合題意，綜上，的最大值為.
（3）當時，不等式左邊右邊，不等式成立.
當時，
   10分
在（2）中取
∴
 =
   .
綜上，          12分