Question

數列{a_n}的前n項和為S_n（n∈N^*），點（a_n，S_n）在直線y=2x-3n上．
（1）若數列{a_n+c}成等比數列，求常數c的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式； 
（3）數列{a_n}中，是否存在三項，它們可以構成等差數列？若存在，請求出一組適合條件的項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由點（a_n，S_n）在直線y=2x-3n上，得S_n=2a_n-3n①，則S_n+1=2a_n+1-3（n+1）②，兩式相減可得數列遞推式，可推得

an+1+3

an+3

=2，從而可得c值；
（2）易求a₁，由（1）可求得a_n+3，從而可得a_n；
（3）設存在s，p，r∈N^*，且s＜p＜r使a_s，a_p，a_r成等差數列，由中項公式可得等式，根據條件說明該等式不成立即可；

解答：解：（1）∵點（a_n，S_n）在直線y=2x-3n上．
∴S_n=2a_n-3n①，
則S_n+1=2a_n+1-3（n+1）②，
②-①得a_n+1=2a_n+3，
∴

an+1+3

an+3

=2，∴{a_n+3）為等比數列，則c=3．      
（2）∵a₁=S₁=2a₁-3，∴a₁=3．
由（1）知an+3=(a1+3)•2n-1，∴an=3•2n-3，n∈N^*；
（3）設存在s，p，r∈N^*，且s＜p＜r使a_s，a_p，a_r成等差數列，
則2a_p=a_s+a_r，即2（3•2^p-3）=（3•2^s-3）+（3•2^r-3）．
∴2^p+1=2^s+2^r，即2^p-s+1=1+2^r-s（*）．
∵s、p、r∈N^*，且s＜p＜r，∴2^p-s+1、2^r-s均為偶數，
從而（*）式產生矛盾．
∴這樣的三項不存在．

點評：本題考查等差數列、等比數列的通項公式，考查由數列遞推式求數列通項，考查學生解決問題的能力，存在性問題要先假設存在，然后以此出發推理，如有矛盾，則不存在，否則即存在．