Question

已知函數(shù)．
（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）設(shè)，，且，證明：.

Answer 1

（1）單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；極小值，無極大值。（2）詳見解析

解析試題分析：（1）先求導(dǎo)，再令導(dǎo)數(shù)大于0的函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0得函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的極值。（2）即證，不妨設(shè)，問題可轉(zhuǎn)化為，令，令，用導(dǎo)數(shù)求其最值，證其最大值小于0即可。
試題解析：（1）定義域為

令則 ∴；令則 ∴
∴的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是
_極小值，無極大值
（2）證明：不妨設(shè)，



兩邊同除以得，
令，則，即證：
令

令，
， 在上單調(diào)遞減，所以
即，即恒成立
∴在上是減函數(shù)，所以
∴得證
所以成立
考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值最值問題。