Question

已知函數f(x)=4x3-3x2cosθ+

1

32

，其中x∈R，θ為參數，且0≤θ≤

π

2

．
（Ⅰ）當cosθ=0時，判斷函數f（x）是否有極值；
（Ⅱ）要使函數f（x）的極小值大于零，求參數θ的取值范圍；
（Ⅲ）若對（Ⅱ）中所求的取值范圍內的任意參數θ，函數f（x）在區間（2a-1，a）內都是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數的導數，f′（x）＞0在（-∞，+∞）上恒成立，得到函數的單調性，從而可判定是否有極值．
（2）先求出極值點，f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極值，求出極小值，使函數f（x）的極小值大于零建立不等關系，求出參數θ的取值范圍即可．
（3）由（II）知，函數f（x）在區間（-∞，0）與(

cosθ

2

，+∞)內都是增函數，只需（2a-1，a）是區間（-∞，0）與(

cosθ

2

，+∞)的子集即可．

解答：解：（I）解：當cosθ=0時f(x)=4x3+

1

32

，則f（x）在（-∞，+∞）內是增函數，
故無極值．
（II）解：f'（x）=12x²-6xcosθ，令f'（x）=0，
得x1=0，x2=

cosθ

2

．
由0≤θ≤

π

2

及（I），只需考慮cosθ＞0的情況．
當x變化時，f'（x）的符號及f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0， cosθ 2 ）	cosθ 2	（ cosθ 2 ，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

因此，函數f（x）在x=

cosθ

2

處取得極小值f(

cosθ

2

)，且f(

cosθ

2

)=-

1

4

cos3θ+

1

32

．
要使f(

cosθ

2

)＞0，必有-

1

4

cos3θ+

1

32

＞0，
可得0＜cosθ＜

1

2

，所以

π

3

＜θ＜

π

2

（III）解：由（II）知，函數f（x）在區間（-∞，0）與(

cosθ

2

，+∞)內都是增函數．
由題設，函數f（x）在（2a-1，a）內是增函數，
則a須滿足不等式組

2a-1＜a a≤0

或

2a-1＜a 2a-1≥ 1 2 cosθ

由（II），參數θ∈(

π

3

，

π

2

)時，0＜cosθ＜

1

2

．要使不等式2a-1≥

1

2

cosθ關于參數θ恒成立，必有2a-1≥

1

4

．
綜上，解得a≤0或

5

8

≤a＜1．
所以a的取值范圍是(-∞，0]∪[

5

8

，1)．

點評：本小題主要考查運用導數研究函數的單調性及極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力．