Question

已知函數(a,c∈R,a＞0,b是自然數）是奇函數，f(x)有最大值，且f(1)＞.

（1）求函數f(x)的解析式；

（2）是否存在直線l與y=f(x)的圖象交于P、Q兩點，并且使得P、Q兩點關于點(1,0)對稱，若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）f(x)=（2）P ()或(),Q（）或Q(),過P、Q的直線l的方程: x–4y–1=0即為所求.

解析:

  （1）∵f(x)是奇函數

∴f(–x)=–f(x)，即

∴–bx+c=–bx–c   ∴c=0

∴f(x)=

由a＞0，b是自然數得當x≤0時，f(x)≤0，

當x＞0時，f(x)＞0

∴f(x)的最大值在x＞0時取得.

∴x＞0時，

當且僅當

即時，f(x)有最大值

∴=1,∴a=b²         ①

又f(1)＞，∴＞,∴5b＞2a+2   ②

把①代入②得2b²–5b+2＜0解得＜b＜2

又b∈N,∴b=1,a=1,∴f(x)=

（2）設存在直線l與y=f(x)的圖象交于P、Q兩點，且P、Q關于點（1，0）對稱，

P(x₀,y₀)則Q（2–x₀,–y₀)，∴,消去y₀，得x₀²–2x₀–1=0

解之，得x₀=1±,

∴P點坐標為()或()

進而相應Q點坐標為Q（）或Q(). 

過P、Q的直線l的方程: x–4y–1=0即為所求.