Question

在平面直角坐標系中，已知點，點在直線：上運動，過點與垂直的直線和線段的垂直平分線相交于點．

(1)求動點的軌跡的方程；

(2)過(1)中的軌跡上的定點作兩條直線分別與軌跡相交于，兩點．試探究：當直線，的斜率存在且傾斜角互補時，直線的斜率是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由．

 

Answer 1

(1) (2) 當直線，的斜率存在且傾斜角互補時，直線的斜率為定值

【解析】

試題分析：(1)由線段垂直平分線的性質知, ,所以動點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線.易知其標準方程為.

設、，,可由點差法求出,

,

由直線，的傾斜角互補，得

定值

試題解析：(1)依題意，得 1分

∴動點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線 3分

∴動點的軌跡的方程為 4分

(2)∵、，在拋物線上

∴ 5分

由①-②得，

∴直線的斜率為 7分

同理可得，直線的斜率為 9分

∴當直線，的傾斜角互補時，有

即

∴ 11分

由②-③得，

∴直線的斜率為 ④ 13分

將代入④，得

∴當直線，的斜率存在且傾斜角互補時，直線的斜率為定值 14分

考點：1、拋物線的定義和標準方程；2、點差法的應用.